关于空间两条直线的位置关系教案

作为一名默默奉献的教育工作者，就难以避免地要准备教案，教案是教材及大纲与课堂教学的纽带和桥梁。那要怎么写好教案呢？以下是小编整理的关于空间两条直线的位置关系教案，欢迎大家分享。

【课时目标】

1．会判断空间两直线的位置关系．

2．理解两异面直线的定义及判定定理，会求两异面直线所成的角．

3．能用公理4及等角定理解决一些简单的相关证明．

1．空间两条直线的位置关系有且只有三种：________、____________、____________．

2．公理4：平行于同一条直线的两条直线____________．

3．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角________．

4．异面直线

(1)定义：________________________的两条直线叫做异面直线．

(2)判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是______________．

5．异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使__________，__________，我们把a′与b′所成的________________叫做异面直线a与b所成的角．

如果两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角α的取值范围是____________．

练习：

一、填空题

1．若空间两条直线a，b没有公共点，则其位置关系是____________．

2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是______________．

3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱共有________条．

4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是________．

5．给出下列四个命题：

①垂直于同一直线的两条直线互相平行；

②平行于同一直线的两直线平行；

③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；

④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．

其中假命题的个数是________．

6．有下列命题：

①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；

②四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；

③经过直线外一点有无数条直线和已知直线垂直；

④若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，则OB∥O1B1．

其中正确命题的序号为________．

7．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．

8．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：

(1)BC′与CD′所成的角为________；

(2)AD与BC′所成的角为________．

9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB⊥EF；

②AB与CM所成的角为60°；

③EF与MN是异面直线；

④MN∥CD．

以上结论中正确结论的序号为________．

二、解答题

10．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．

求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；

(2)∠DNM＝∠D1A1C1．

11．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．

能力提升

12．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．

13．如图所示，在正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，则EF和CD所成的角是______．

1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．

2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角α的范围为0°<α≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．

作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．

空间两条直线的位置关系 答案

知识梳理

1．相交直线 平行直线 异面直线

2．互相平行 3．相等

4．(1)不同在任何一个平面内 (2)异面直线

5．a′∥a b′∥b 锐角(或直角) 直角 0°<α≤90°

作业设计

1．平行或异面

2．相交、平行或异面

解析 异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．

3．6

4．矩形

解析

易证四边形EFGH为平行四边形．

又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，

又FG∥BD，

∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．

而AC与BD所成的角为90°，

∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．

5．2

解析 ①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．

④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；

当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．

6．③

7．60°或120°

8．(1)60° (2)45°

解析

连结BA′，则BA′∥CD′，连结A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．

由△A′BC′为正三角形，

知∠A′BC′＝60°，

由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．

易知∠C′BC＝45°．

9．①③

解析

把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．

10．

证明 (1)如图，连结AC，

在△ACD中，

∵M、N分别是CD、AD的中点，

∴MN是三角形的中位线，

∴MN∥AC，MN＝12AC．

由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1．

∴MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，即MN≠A1C1，

∴四边形MNA1C1是梯形．

(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，

∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．

而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，

∴∠DNM＝∠D1A1C1．

11．解 取AC的中点G，

连结EG、FG，

则EG∥AB，GF∥CD，

且由AB＝CD知EG＝FG，

∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．

∵AB与CD所成的角为30°，

∴∠EGF＝30°或150°．

由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；

当∠EGF＝150°时，

∠GEF＝15°．

故EF与AB所成的角为15°或75°．

12．②④

解析 ①中HG∥MN．

③中GM∥HN且GM≠HN，

∴HG、MN必相交．

13．45°

解析 连结B1D1，则E为B1D1中点，

连结AB1，EF∥AB1，

又CD∥AB，∴∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角，

即∠B1AB＝45°．

（2） ，设切点坐标为 ，则切线的斜率为2 ，且 ，于是切线方程为 ，因为点（－1，0）在切线上，可解得 ＝0或－4，代入可验正D正确，选D。

点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。

例6．（1）半径为r的圆的面积S(r)＝ r2,周长C(r)=2 r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则( r2)`＝2 r ○1，○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于○1的式子： ○2；○2式可以用语言叙述为： 。

（2）曲线 和 在它们交点处的两条切线与 轴所围成的三角形面积是 。

解析：（1）V球＝ ，又 故○2式可填 ，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”；

（2）曲线 和 在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与 轴所围成的三角形的面积是 。

点评：导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果。

题型4：借助导数处理单调性、极值和最值

例7．（1）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1） 0，则必有（ ）

A．f（0）＋f（2）2f（1） B. f（0）＋f（2）2f（1）

C．f（0）＋f（2）2f（1） D. f（0）＋f（2）2f（1）

（2）函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区间 内有极小值点（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个

（3）已知函数 。（Ⅰ）设 ，讨论 的单调性；（Ⅱ）若对任意 恒有 ，求 的取值范围。

解析：（1）依题意，当x1时，f（x）0，函数f（x）在（1，＋）上是增函数；当x1时，f（x）0，f（x）在（－，1）上是减函数，故f（x）当x＝1时取得最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1），故选C；

（2）函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，函数 在开区间 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A。

（3）：(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得 f '(x)= ax2+2－a(1－x)2 e－ax。

(?)当a=2时, f '(x)= 2x2(1－x)2 e－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).为增函数；

(?)当0<a<2时, f '(x)>0, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)为增函数.；

(?)当a>2时, 0<a－2a<1, 令f '(x)=0 ,解得x1=－ a－2a, x2=a－2a ；

当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表:

x(－∞, －a－2a)

(－a－2a,a－2a)(a－2a,1)(1,+∞)

f '(x)＋－＋＋

f(x)????

f(x)在(－∞, －a－2a), (a－2a,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(－a－2a,a－2a)为减函数。

(Ⅱ)(?)当0f(0)=1；

(?)当a>2时, 取x0= 12 a－2a∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)<f(0)=1；

(?)当a≤0时, 对任意x∈(0,1),恒有1+x1－x >1且e－ax≥1，

得：f(x)= 1+x1－xe－ax≥1+x1－x >1. 综上当且仅当a∈(－∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。

点评：注意求函数的单调性之前，一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数增减。

例8．（1） 在区间 上的最大值是（ ）

(A)－2 (B)0 (C)2 (D)4

（2）设函数f(x)= （Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。

解析：（1） ，令 可得x＝0或2（2舍去），当－1x0时， 0，当0x1时， 0，所以当x＝0时，f（x）取得最大值为2。选C；

（2）由已知得 ，令 ，解得 。

（Ⅰ）当 时， ， 在 上单调递增；

当 时， ， 随 的变化情况如下表：

极大值

极小值

从上表可知，函数 在 上单调递增；在 上单调递减；在 上单调递增。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 时，函数 没有极值；当 时，函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值 。

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。

题型5：导数综合题

例9．设函数 分别在 处取得极小值、极大值. 平面上点 的坐标分别为 、 ，该平面上动点 满足 ,点 是点 关于直线 的对称点.求

(I)求点 的坐标；

(II)求动点 的轨迹方程.

解析： (Ⅰ)令 解得 ；

当 时, ， 当 时, ，当 时， 。

所以,函数在 处取得极小值,在 取得极大值,故 , 。

所以, 点A、B的坐标为 。

（Ⅱ） 设 ， ，

，所以 。

又PQ的中点在 上，所以 ，消去 得 。

点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。

例10．（06湖南卷）已知函数 ,数列{ }满足: 证明:(?) ；(?) 。

证明: （I）．先用数学归纳法证明 ，ｎ＝1,2,3,…

(i).当n=1时,由已知显然结论成立。

(ii).假设当n=k时结论成立,即 。

因为0<x<1时， ,所以f(x)在(0,1)上是增函数。

又f(x)在[0,1]上连续，从而 .故n=k+1时,结论成立。

由(i)、(ii)可知， 对一切正整数都成立。

又因为 时， ，所以 ，综上所述 。

（II）．设函数 ， ，

由（I）知，当 时， ，

从而 所以g (x)在(0,1)上是增函数。

又g (x)在[0,1]上连续,且g (0)=0，所以当 时，g (x)>0成立。

于是 ．故 。

点评：该题是数列知识和导数结合到一块。

题型6：导数实际应用题

例11．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心 的距离为多少时，帐篷的体积最大？

本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。

解析：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为 （单位：m）。

于是底面正六边形的面积为（单位：m2）：

帐篷的体积为（单位：m3）：

求导数，得 ；

令 解得x=-2(不合题意，舍去),x=2。

当1<x<2时， ,V(x)为增函数；当2<x<4时， ,V(x)为减函数。

所以当x=2时,V(x)最大。

答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大。

点评：结合空间几何体的体积求最值，理解导数的工具作用。

例12．已知函数f(x)=x + x ，数列｜x ｜(x ＞0)的第一项x ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在 处的切线与经过（0，0）和（x ,f (x )）两点的直线平行（如图）求证：当n 时，

(Ⅰ)x

证明：（I）因为 所以曲线 在 处的切线斜率

因为过 和 两点的直线斜率是 所以 .

（II）因为函数 当 时单调递增，而

所以 ，即 因此

又因为 令 则

因为 所以

因此 故

点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。

题型7：定积分

例13．计算下列定积分的值

（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；

解析：（1）

（2）因为 ，所以 ；

（3）

（4）

例14．（1）一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功。

（2）抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．

解析：（1）物体的速度 。

媒质阻力 ，其中k为比例常数，k>0。

当x=0时，t=0；当x=a时， ，

又ds=vdt，故阻力所作的功为：

（2）依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=－b/a，所以 (1)

又直线x＋y=4与抛物线y=ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，

由方程组

得ax2＋(b＋1)x－4=0，其判别式必须为0，即(b＋1)2＋16a=0．

于是 代入（1）式得：

令S'(b)=0；在b＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'(b)＞0；当b＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且 。

点评：应用好定积分处理平面区域内的面积。

五．思维

1．本讲内容在高考中以填空题和解答题为主

主要考查：

（1）函数的极限；

（2）导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用；

（3）计算曲边图形的面积和旋转体的体积。

2．考生应立足基础知识和基本方法的复习，以本题目为主，以熟练技能，巩固概念为目标。