基本不等式的训练题

基本不等式训练题

1．若xy＞0，则对 xy＋yx说法正确的是( )

A．有最大值－2 B．有最小值2

C．无最大值和最小值 D．无法确定

答案：B

2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是( )

A．400 B．100

C．40 D．20

答案：A

3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋4x有最小值____．

答案：2 4

4．已知f(x)＝12x＋4x.

(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；

(2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．

解：(1)∵x＞0，∴12x，4x＞0.

∴12x＋4x≥212x4x＝83.

当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83，

∴当x＞0时，f(x)的最小值为83.

(2)∵x＜0，∴－x＞0.

则－f(x)＝12－x＋(－4x)≥212－x－4x＝83，

当且仅当12－x＝－4x时，即x＝－3时取等号．

∴当x＜0时，f(x)的最大值为－83.

一、选择题

1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )

A．x＋12x B．x2－1＋1x2－1

C．2x＋2－x D．x(1－x)

答案：C

2．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是( )

A．32－3 B．－3

C．62 D．62－3

解析：选D.y＝3(x2＋2x2＋1)＝3(x2＋1＋2x2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3.

3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是( )

A．200 B．100

C．50 D．20

解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200 高中英语，当且仅当m＝n时等号成立．

4．给出下面四个推导过程：

①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba＋ab≥2baab＝2；

②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lgx＋lgy≥2lgxlgy；

③∵a∈R，a≠0，∴4a＋a ≥24aa＝4；

④∵x，y∈R，，xy＜0，∴xy＋yx＝－[(－xy)＋(－yx)]≤－2－xy－yx＝－2.

其中正确的推导过程为( )

A．①② B．②③

C．③④ D．①④

解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．

①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba，ab∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；

②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lgx是负数，y∈(0,1)时，lgy是负数，∴②的推导过程是错误的；

③∵a∈R，不符合基本不等式的条件，

∴4a＋a≥24aa＝4是错误的；

④由xy＜0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy＋yx提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．

5．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是( )

A．2 B．22

C．4 D．5

解析：选C.∵1a＋1b＋2ab≥2ab＋2ab≥22×2＝4.当且仅当a＝bab＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4.

6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有( )

A．最大值64 B．最大值164

C．最小值64 D．最小值164

解析：选C.∵x、y均为正数，

∴xy＝8x＋2y≥28x2y＝8xy，

当且仅当8x＝2y时等号成立．

∴xy≥64.

二、填空题

7．函数y＝x＋1x＋1(x≥0)的最小值为________．

答案：1

8．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．

解析：1＝x＋4y≥2x4y＝4xy，∴xy≤116.

答案：大 116

9．(2010年山东卷)已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．

解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.

当且仅当x3＝y4时取等号．

答案：3

三、解答题

10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；

(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．

解：(1)∵x＞－1，∴x＋1＞0.

∴y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5

≥2 x＋14x＋1＋5＝9，

当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．

∴x＝1时，函数的最小值是9.

(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1

＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，∴x－1＞0.

∴(x－1)＋9x－1＋2≥2x－19x－1＋2＝8.

当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时等号成立，

∴y有最小值8.

11．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.

证明：∵a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，

∴1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca≥2bca，

同理1b－1≥2acb，1c－1≥2abc，

以上三个不等式两边分别相乘得

(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.

当且仅当a＝b＝c时取等号．

12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．

问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．

解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米．

总造价f(x)＝400×(2x＋2×200x)＋100×200x＋60×200

＝800×(x＋225x)＋12000

≥1600x225x＋12000

＝36000(元)

当且仅当x＝225x(x＞0)，

即x＝15时等号成立．

女主人

四位女士在玩一种纸牌游戏，其规则是：（a）在每一圈中，某方首先出一张牌，其余各方就要按这张先手牌的花色出牌（如果手中没有这种花色，可以出任何其他花色的牌）；（b）每一圈的获胜者即取得下一圈的首先出牌权。现在她们已经打了十圈，还要打三圈。

（1）在第十一圈，阿尔玛首先出一张梅花，贝丝出方块，克利奥出红心，黛娜出黑桃，但后三人的这个先后顺序不一定是她们的出牌顺序。

（2）女主人在第十二圈获胜，并且在第十三圈首先出了一张红心。

（3）在这最后三圈中，首先出牌的女士各不相同。

（4）在这最后三圈的每一圈中，四种花色都有人打出，而且获胜者凭的都是一张“王牌”。（王牌是某一种花色中的任何一张牌：（a）在手中没有先手牌花色的情况下，可以出王牌――这样，一张王牌将击败其他三种花色中的任何牌；（b）与其他花色的牌一样，王牌可以作为先手牌打出。）

（5）在这最后三圈中，获胜者各不相同。

（6）女主人的搭档手中是三张红色的牌。

这四位女士中，谁是女主人？

（提示：哪种花色是王牌？谁在第二十圈出了王牌？）

答 案

梅花不会是王牌，否则，根据（l）和（4），阿尔玛在最后三圈中将不止一次地拥有首先出牌权，而这与{（3）在这最后三圈中，首先出牌的女士各不相同。}矛盾。红心不会是王牌，否则，根据（2）和（4），女主人在最后三圈中将不止一次地获胜，而这与{（5）在这最后三圈中，获胜者各不相同。}矛盾。

根据{（1）在第十一圈，阿尔玛首先出一张梅花，贝丝出方块，克利奥出红心，黛娜出黑桃，但后三人的这个先后顺序不一定是她们的出牌顺序。}，没有人跟着阿尔玛出梅花，这表明其他人都没有梅花；可是根据{（4）在这最后三圈的每一圈中，四种花色都有人打出，而且获胜者凭的都是一张“王牌”。（王牌是某一种花色中的任何一张牌：（a）在手中没有先手牌花色的情况下，可以出王牌――这样，一张王牌将击败其他三种花色中的任何牌；（b）与其他花色的牌一样，王牌可以作为先手牌打出。）}，每一圈中都有梅花出现，从而打最后三圈时阿尔玛手中必定是三张梅花。由于最后三圈都是凭王牌获胜，而且梅花不是王牌，所以阿尔玛没有一圈获胜。根据（5），其他三人各胜一圈，所以其他三人各有一张王牌。

黑桃不会是王牌，否则，没有一个人能有三张红牌，而这与{（6）女主人的搭档手中是三张红色的牌。}矛盾。

因此方块是王牌。

于是根据（1），贝丝在第十一圈获胜，并且取得了第十二圈的首先出牌权。

根据{（2）女主人在第十二圈获胜，并且在第十三圈首先出了一张红心。}，女主人在第十二圈获胜（用王牌方块），并且接着在第十三圈首先出了红心。因此，根据（4），红心不是第十二圈的先手牌花色。

方块不能是第十二圈的先手牌花色，否则贝丝将不止一次地获胜，而这与（5）矛盾（贝丝已经在第十一圈获胜，根据（4），如果在第十二圈她首先出方块，那她还要在这一圈获胜）。

梅花不能是第十二圈的先手牌花色，因为所有的梅花都在阿尔玛的手中 高中历史，而根据（3），在最后三圈中阿尔玛首先出牌只有一次（根据（l），是在第十一圈）。

因此，黑桃是第十二圈的先手牌花色。这张牌是贝丝出的。根据以上所知的每位女士所出花色的情况，可以列成下表：

阿尔玛

贝丝

克利奥

黛娜

第十一圈：

梅花（先出）

方块（获胜）

红心

黑桃

第十二圈：

梅花

黑桃（先出）

第十三圈：

梅花

既然贝丝在第十二圈首先出的是黑桃，那么根据（5），在这一圈出方块（王牌）的不是克利奥就是黛娜。根据（2），如果是克利奥出了方块，则她一定是女主人。但是根据（6），女主人的搭档有三张红牌，而除克利奥之外，其他人都不可能是女主人的搭挡(阿尔玛手中全是梅花，贝丝在第十二圈首先出了黑桃，黛那在第十一圈出了黑桃，说明这三人在最后三圈时手中都有黑牌。)因此，在第十二圈贝丝首先出了黑桃之后，克利奥没有出方块（王牌）。

于是，在第十二圈贝丝首先出了黑桃之后，一定是黛娜出了方块（王牌）。从而根据（2），女主人一定是黛娜。

分析可以继续进行下去。根据（2），黛娜在第十三圈首先出了红心。于是上表可补充成为：

阿尔玛

贝丝

克利奥

黛娜

第十一圈：

梅花（先出）

方块（获胜）

红心

黑桃

第十二圈：

梅花

黑桃（先出）

方块（获胜）

第十三圈：

梅花

红心（先出）

于是根据（4），克利奥在第十二圈出了红心。根据（5），克利奥在第十三圈出了方块（王牌）。再根据（4），贝丝在第十三圈出了黑桃。完整的情况如下表：

阿尔玛

贝丝

克利奥

黛娜

第十一圈：

梅花（先出）

方块（获胜）

红心

黑桃

第十二圈：

梅花

黑桃（先出）

红心

方块（获胜）

第十三圈：

梅花

黑桃

方块（获胜）

红心（先出）

近年各高校自主招生考试数学试题解析

自从2014年复旦大学、上海交通大学等全国重点院校招生改革“破冰”以来，各校“深化自主选拔改革试验”招生方案不断出台。全国院校数目及招生规模也在增加，引起了教育界和广大考生、家长和中学教师对命题的高度关注。以下就近两年数学考试特点进行剖析。

试卷特点分析

1.基础知识和基本技能仍是考查重点

基础知识、基本技能称之为“双基”。大家知道，能力与“双基”有着辩证关系。没有扎实的“双基”，能力培养就成了无源之水，无本之木。所以，“双基”训练是数学教学的重要任务之一。

综观复旦、交大、清华等高校近几年自主招生的数学题目，我们会发现有60%至70%的题目仍是比较基础的。例如近三年来上海交大卷的填空题都是10题（50分），占试卷的一半，这些填空题比较常规，和难度相当。复旦卷有30题左右的选择题，也多半是学生平时训练过的一些比较熟悉的题型和知识点。

2.考查知识点的覆盖面广，但侧重点有所不同

复旦、交大等高校近几年自主招生的试题，知识点的覆盖面还是很广的，基本上涉及到高中数学大纲的所有内容。例如，函数、集合、数列、复数、三角、排列、组合、概率统计、向量、立体几何、解析几何等。

但高校自主招生试题命题是由大学完成的，更多会考虑到高等数学与初等数学的衔接，所以提请大家注意几个方面：

函数和方程问题、排列组合和概率统计等 粗略统计，2014年复旦卷中与函数和方程有关的试题多达10题，占31%。

复数 复数通常在高考中要求比较低，占的比分也较少，但在复旦卷中仍占有一席之地（2014年及2014年分别有2题和3题）。

矩阵和行列式 这些知识虽然目前还未纳入高考范围，但由于是高等数学中非常重要的内容，近几年在复旦卷中每年都会出现。

以上各点，望能引起广大师生的注意。

当然由于上述同样的原因，尽管高考中解析几何是一个比较重要的内容，但在复旦卷中所占比例却较少，例如，2014年和2014年只有2题和1题。

3.注重数学知识和其他科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力

2014年交大冬令营数学试卷中有这样一个问题：

通信工程中常用n元数组（a1，a2，a3，……an）表示信息，其中ai=0或1，i、n∈N。设u=（a1，a2，a3，……an），v=（b1，b2，b3，……bn），d（u，v）表示u和v中相对应的元素不同的个数。

（1）u=（0,0，0,0，0）问存在多少个5元数组v使得d（u，v）=1

（2）u=（1,1，1,1，1）问存在多少个5元数组v使得d（u，v）=3

（3）令w=（01，2014,02……0），u=（a1，a2，a3……an） 高三，v=（b1>，b2，b3……bn）

求证：d（u，w）＋d（v，w）≥d（u,v）

此问题与计算机中的“二进制”有关。前两问是排列组合计数问题，尤其是第三问有一定的挑战性。可把d（u,v）转化为一个绝对值问题

4.突出对思维能力和解题技巧的考查

近几年的自主招生试卷中对数学思想方法和思维策略的考查达到了相当高的层次，有时甚至达到相当于数学竞赛的难度。

例如，2014年交大冬令营卷中有这样一个问题：

设f(x)=(1+a)x4+x3-(3a+2)x2-4a，试证明对任意实数a：

（1）方程f(x)=0总有相同实根

（2）存在x0，恒有f(x0)≠0

这两问解决的策略和方法是：换一个角度看成一个关于a的一次函数。

应试和准备策略

针对上述自主招生试题特点，学生复习时应注意以下几点：

1.注意知识点的全面

数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都靠平时积累，剩下的就是个人的现场发挥。数学还是要靠平时扎扎实实的学习才能考出好成绩，因此，学生平时必须把基础知识打扎实。

另外，对上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题，如矩阵、行列式等也不可忽视。

2.适当做些近几年的自主招生的

俗话说：知己知彼，百战百胜。同学们可适当训练近几年自己所考的高校所出的自主招生试题，熟悉一下题型和套路。

3.注重知识的延伸和加深

复旦、交大、清华等全国重点院校自主招生试题比稍难，比数学竞赛试题又稍简单，有些问题稍有深度，这就要求考生平时注意知识点的延伸和加深。例如2014年复旦卷的第77题：

四十个学生参加数学奥林匹克竞赛。他们必须解决一个代数学问题、一个几何学问题以及一个三角学问题。具体情况如下表所述。

其中有三位学生一个问题都没有解决。问：三个问题都解决的学生数是( )。

A.5 B.6 C.7 D.8

此题若是用画图、文氏图等方法虽能解决，但花费时间较多。若是知题三个集合的容斥原理,A∪B∪C=A+B+C-(A∩B+A∩C+B∩C)+A∩B∩C，只要代入公式，马上就可解决。

又如第88题：

设x1,x2,x3是方程x3+x+2=0

此题若是知题三次方程的韦达定理，则也容易解决。而三次方程和韦达定理虽然可推导出来，但平时同学们对二次方程的韦达定理很熟悉，对三次方程则比较陌生。

又比如，柯西不等式可解决许多不等式问题，但由于目前上海高考不考，所以很多高中生对此不熟悉。

总之，同学们若是多注意一些知识点的延伸和加深，考试时必定会有一种居高临下的感觉。

简化数学的方法

打破数学完全是一门抽象学科的观念，数学可以变得有意思且讨人喜欢。

心算

我清楚地记得我上小学的情况。那时候，我最害怕的事情莫过于背九九乘法表了。我背错了9×7的答案，作为惩罚，我的数学老师勒令我站在全班同学面前，把乘法表背九遍。更让我感到羞

辱的是，我每说出一个词，老师就会拿着尺子在我大腿后打一下——虽然打得不重，但仍是有感觉的，这仅仅是为了加深我对乘法表的印象。“9……啪，乘以1……啪，等于9……啪……”

谢天谢地，现在的数学教学已经大大改进了。现在更强调的是解决问题的方式，实际的研究调查，以及运算的方法。这样做的目的是尽量使数学变得有意思且讨人喜爱，从而打破那种认为数学完全是一门抽象学科的观念。

但是，学生们仍然不可避免地需要学会不借助计算器而进行加、减、乘、除。

1994年的时候，我参加了一个电视节目。主持人请我在现场观众面前进行心算，我欣然领命，结果算得比计算器还快，随后他又请我向大家揭开这个谜底。但是电视上的短短几分钟时间，根本不足以充分解释我所使用的方法，所以许多观众仍然对此迷惑不解，没有人能够领会。

其实，如果你知道一些简算方法，进行这样的心算非常容易。我们先来举个加法的例子。

314

231

721

510

+ 122

我以前所学的把几个数相加的方法是这样：从右到左把每一竖列相加，同时注意满十向前进位。但是对于心算来说，这样的方法便有点困难，甚至是不合理的，因为最后的答案是从左到右读出来的。比如1898，我们不会说“八，九十，八百，一千”。既然如此，为什么计算要采取相反的顺序呢？

试试从左边开始进行加法心算。当你得到相加的总和时，你会发现这样的方法更自然：“一千八百……一千八百九十……一千八百九十八！”

我刚才选择的是比较小的数字，不须进位。不过即使需要进位，我们在相加时也能够很容易地对总和进行调整。

你来试试下面这个运算：

412

131

342

212

+ 731

这一次，当你从左到右依次相加时，需要把百位数的和从1700调整为1800。（答案：1828）

经过适当的练习，你应该能够在头脑里映射出每竖列数字的和，这样你便可以进行更大数字的加法运算了。

在我的演示中，我能够蒙上眼睛，心算10个四位数相加。下面我告诉你我是怎样做的，如果你学会了多米尼克体系，你也能够做到。

我的小花招

第一步，准备四处场景，用来安置4个二位数，每个二位数用多米尼克体系人物进行代替。

看看你的屋子外边。把屋顶的左顶部作为第一处场景。斜对着的右边，一个人靠在窗户外。再靠右一点，第三个人站在梯子上。最后，再靠右，第四个人站在地上。这4个人的位置大致形成一条从左到右、由高到低的对角线。

现在你已经为加法心算作好准备了。接下来你会被蒙上眼睛。请一个人写下10个一位数，排成一个竖列，同时要求他一边写一边大声地读出来。当你听到这些数字，便把它们加起来。得到最后的总和后，转译为多米尼克人物。把这个人物安置到屋子外相应的地点，记住这个场景。接着，请观众继续第二竖列的数字。

比如：

7364

4201

3871

6728

2609

8735

1312

5236

9043

+ 7492

第一竖列的和：52=EB 俄妮卜莱登

（Enid Blyton）

第二竖列的和：42=DB 大卫鲍伊

（David Bowie）

第三竖列的和：35=CE 克林特伊斯特伍德

（Clint Eastwood）

第四竖列的和：41=DA 大卫艾登堡

（David Attenborough）

52是第一竖列数字的和。将数字转译为人物，我们得到俄妮卜莱登（Enid Blyton，EB=52）。想像俄妮卜莱登站在房子的屋顶上。这个怪异的情景会让你牢牢记住数字52。接着往右进行第二竖列。

当每个数字被读出来的时候，将它们挨个相加，得到第二个和：42。这次是大卫鲍伊（David Bowie，DB=42）靠在窗外。你可以同时对情景进行夸张，以便加深记忆。

再紧接着的两竖列数字的和是35和41，分别代表克林特伊斯特伍德（Clint Eastwood，CE=35）站在梯子上，大卫艾登堡（David Attenborough，DA=41）在地上扶持着梯子。这样，4列数字的和就被简化为4幅简单易记的场景。

现在，你可以告诉你的观众你开始进行心算。迅速地回想那些场景，但同时告诉观众你正在快速浏览所有的数字，以此来迷惑他们。

52

42

35

+ 41

56591

最后，你只要把这四个数按照相应的位数对齐，再进行简单的加法运算便可以了。当你缓缓地大声说出最后的总和时，所有的人都会以为你有照相存储式的记忆，或者你根本就是个活计算器！

但是不管怎样，你最好能够运用一些加法技巧，它们既有效又可靠，能够大大降低出错的几率。

可以试着把某些数字“化整”以后再相加。比如：

59+85=144

如果你先把59变为60，跟85相加后，再从中减去1，计算就会容易得多。

60+85-1=144

运用“化整”的方法来练习下面的算式：

99+76=？

68+52=？

81+55=？

198+66=？

151+75=？

349+60=？

乘法

我猜想，你所学的乘法运算肯定跟我当时学的是一样的步骤：

78

×67

546

468

5226

这种传统的方法当然是很可靠的，但是如果要用它来进行心算，那就太困难了，因为其中包括若干独立的'步骤:先进行两次乘法，随后再将得到的两个乘积相加。

我们可以采用一个更快捷的方法，使这些步骤同时结合起来：

36

× 41

1476

这是怎么算出来的呢？

1. 先从个位开始：6×1=6

2. 然后交叉相乘：3×1，6×4

3. 将2的两个结果相加：3+24=27

4. 写下7

5. 最后将十位相乘（3×4），再加上3中剩下的数字2，得到14

这些说明看上去很复杂，但经过练习，它实际上是很容易使用的，甚至对于三位数或四位数都适用：

241

× 357

86037

1. 7×1= 7

2.（4×7）+（1×5）= 33

3.（2×7）+（1×3）+（4×5）= 37

4.（2×5）+（4×3）= 22

5. 2×3= 6

86037

在算术中，你应该尝试去发现规律或模式。注意下面这个例子，两个数字的十位数相同。

17

× 14

如果是这种情况，计算更简便。

1. 把4提出来，跟17相加，得到21

2. 将这个数乘以10；换句话，就是在21后添个0，得到210

3. 把7×4的积28，跟210相加，得到答案238

28

× 23

1. 类似地，把3跟28相加，得到31

2. 注意这次是将31乘以20；换句话，将31乘以2再添个0，得到620

3. 最后3×8=24，加上620，答案是644

现在你来试试下面的乘法算式，不要用笔和纸：

16

× 12

26

× 24

21

× 29

32

× 31

如果你觉得你非常擅长心算，为什么不试试去挑战莎昆塔拉戴维（Shakuntala Devi）女士的世界记录？1980年，在伦敦的帝国学院，这位印度数学家进行了下面这两个13位数的乘法运算，未借助任何工具，用的仅仅是大脑；而这两个数字是由学院计算机系随意抽取的。

7 686 369 774 870

× 2 465 099 745 779

她算出了正确的答案18 947 668 177 995 426 462 773 730，所用时间仅为28秒！

最后的小花招

最后我来教你一个容易表演的数学小花招。

让某个人随便写下一个五位数，假设它是45055。然后告诉他接着该轮到你在下面写上另一个数字。不过你要写的并不是一个随意的数字，你必须保证你写的这个数字与上面第一个数字相加所得到的数每一位都是9，这样你该写的数字便是54944。

把笔交回给对方，重复这个过程。如果他的下一个数字是21813，那么你的数字就是78186。当他写下最后一个五位数时，你便能够马上得出最后的和。比如，如果他最后的数字是69683，那么此时你要做的便是在这个数字前面添上2，再从个位上减掉2。这样，得到答案269681。

看看下面的算式，你应该很容易地明白这个过程：

45055

54944

21813

78186

+ 69683

269681

这个花招绝对不会出错，而你的观众将会感到大惑不解！（如果最后一个数的个位恰好是0，那么再从十位上减去1；比如33360，最后得到233358。）

为什么会这样呢?因为前4个数相加的和总是199998 ——也就是比200000少2。

名师支招：高一新生学数学应注意什么

古语云：授人以鱼，只供一饭。授人以渔，则终身受用无穷。学知识，更要学方法 高中化学。清华网校的学习方法栏目由清华附中名师结合多年教学经验和附中优秀学生学习心得组成，以帮助学生培养良好的学习习惯为目的，使学生在学习中能够事半功倍。

数学是一个人的学习生涯中所占比重最大的学科，也是高考科目中最能够拉开分数层次的学科，因此学好数学，无论是对高考，还是对以后学习工作都起着重要作用。那么高一新生在学习上刚刚踏入新阶段，如何去除初中时养成的不适宜高中学习的习惯，又如何掌握正确的学习方法呢？我们应注意以下三点：

(1)注意和初中数学知识的衔接。这是一个十分困难的问题，初中数学与高中数学的差别非常大，从原本的实际思维转入抽象思维，需要一个大幅度转变。这就需要重新整理初中数学知识，形成良好的知识基础，在此基础上，再根据高中知识特点，较快的吸收新的知识，形成新的知识结构。

(2)认真理解，反复推敲思考高中各知识点的涵义，各种表示方法。容易混淆的知识，仔细辨识、区别，达到熟练掌握，逐步建立与高中数学结构相适应的理论本质与思考方法，切忌急于求成。

(3)通过学习，要努力培养自己观察，比较抽象，概括能力初步形成运用知识准确地表达数学问题和实际问题的意识和能力；培养科学的、严谨的学习态度，为树立辩证唯物主义科学的世界观认识世界打下基础。

我们应试时，时常发现厌试心理，有时会有些紧张，这是很正常的。但过分紧张也会导致考不好，所以平时应把练习当作考试，但考试时则平视为练习，心态好了，成绩自己就上去了。

如何减少解题失误，这是一个考高分的关键。失误少了，分数就会溅涨。这需要学生的仔细观察与认真阅读题目，抓住题目重点、题心，并围绕重点、题心考虑其他条件与答案。其次，考虑要周全，避免出现遗漏情况，各个方面都要考虑到，这需要平日思考事物的长期积累。

考试考得不好，这是常遇到的问题，心情沮丧是正常心理，但不能持久下去。要将答案听彻底，记下，并与自己的解题思路相比较，发现不同之处，或不要之处并记于心里，这样对于下次考试则很有好处。

高二数学直线的倾斜角和斜率教学简案

教学目标

(1)了解直线方程的概念.

(2)正确理解直线倾斜角和斜率概念 高二.理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线都存在斜率.

(3)理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.

(4)通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养观察、探索，运用语言表达，交流与评价.

(5)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.

教学建议

1.教材分析

(1)结构

本节内容首先根据一次函数与其图像——直线的关系导出直线方程的概念;其次为进一步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念，从而实现了直线的方向或者说直线的倾斜角这一直线的几何属性向直线的斜率这一代数属性的转变;最后推导出经过两点的直线的斜率公式.这些充分体现了解析几何的思想.

(2)重点、难点分析

①本节的重点是斜率的概念和斜率公式.直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用.因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键.

②本节的难点是对斜率概念的理解.学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受，但是，为什么要定义直线的斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问题却并不容易接受.

2.教法建议

(1)本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.学生也对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立.相应的教学过程也有三个阶段

①在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念.

②本节的难点是对斜率概念的理解.学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样.学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗.再有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解决这些问题，就要求帮助学生认识到在直线的方程中体现的不是直线的倾斜角，而是倾斜角的正切，即直线方程(一次函数 y=kx+b的形式，下同)中x的系数恰好就是直线倾斜角的正切.为了便于学生更好的理解直线斜率的概念，可以借助几何画板设计： (1) α变化→直线变化→ y=kx中的 x系数 y变化 (同时注意 tga的变化). (2) y=kx中的 x系数 y变化→直线变化→α变化 (同时注意 tga的变化). 运用上述正反两种变化的动态演示充分揭示直线方程中 x系数与倾斜角正切的内在关系，这对帮助学生理解斜率概念是极有好处的.

③在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注意与前后知识的联系，课前要对平面向量，三角函数等有关内容作一定的准备.

④在直线方程的概念时要通过举例清晰地指出两个条件，最好能用充要条件叙述直线方程的概念，强化直线与相应方程的对应关系.为将来曲线方程做好准备.

(2)本节内容在教学中宜采用启发引导法和讨论法，设计为启发、引导、探究、评价的教学模式.学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、和评价.倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立，这三项教学任务都是在讨论、交流、评价中完成的.在此过程生的思维和能力得到充分的发展.教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，参与评价.

高考数学填空题解答题题型特点分析

填空题和选择题同属客观性，它们有许多共同特点：其形态短小精悍，考查目标集中，答案简短、明确、具体，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确等等。不过填空题和选择题也有质的区别。首先，表现为填空题没有备选项。因此，解答时既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足，对考生独立思考和求解，在要求上会些，长期以来，填空题的答对率一直低于选择题的答对率，也许这就是一个重要的原因。其次，填空题的结构，往往是在一个正确的命题或断言中，抽去其中的一些内容（既可以是条件，也可以是结论），留下空位，让考生独立填上，考查比较灵活。在对题目的阅读理解上，较之选择题，有时会显得较为费劲。当然并非常常如此，这将取决于命题者对的设计意图。

填空题的考点少，目标集中，否则，试题的区分度差，其信度和效度都难以得到保证。

这是因为：填空题要是考点多，解答过程长，影响结论的因素多，那么对于答错的考生便难以知道其出错的真正原因。有的可能是一窍不通，入手就错了，有的可能只是到了最后一步才出错，但他们在答卷上表现出来的情况一样，得相同的成绩，尽管它们的水平存在很大的差异。

解答题与填空题比较，同属提供型的试题，但也有本质的区别。首先，解答题应答时，考生不仅要提供出最后的结论，还得写出或说出解答过程的主要步骤，提供合理、合法的说明。填空题则无此要求，只要填写结果，省略过程，而且所填结果应力求简练、概括和准确 高中语文。其次，试题内涵，解答题比起填空题要丰富得多。解答题的考点相对较多，综合性强，难度较高。解答题成绩的评定不仅看最后的结论，还要看其推演和论证过程，分情况评定分数，用以反映其差别，因而解答题命题的自由度，较之填空题大得多。