高三基本不等式课件

高三基本不等式课件

【教学目标】

1．知识与技能：进一步掌握基本不等式 ；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题

2．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点】

基本不等式 的应用

【教学难点】

利用基本不等式 求最大值、最小值。

【教学过程】

1.课题导入

1．重要不等式：

如果

2．基本不等式：如果a,b是正数，那么

3.我们称 的算术平均数，称 的'几何平均数.

成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。

2.讲授新课

例1  (1)已知m>0,求证 。

[思维切入]因为m>0,所以可把 和 分别看作基本不等式中的a和b, 直接利用基本不等式。

[证明]因为  m>0,，由基本不等式得

当且仅当 =，即m=2时，取等号。

规律技巧总结  注意：m>0这一前提条件和 =144为定值的前提条件。

(2)  求证: .

[思维切入]  由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边 .这样变形后,在用基本不等式即可得证.

[证明]

当且仅当 =a-3即a=5时,等号成立.

规律技巧总结  通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.

例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。

解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

当

因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。

归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案.

3.随堂练习

1.已知x≠0，当x取什么值时，x2＋ 的值最小?最小值是多少?

2．课本第101页的练习4,习题3.

4.课时小结

本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值 即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等。

5.作业设计

课本第101页习题[A]组的第2、4题