高中数学几类不同增长的函数模型练习题

一、选择题

1．下列函数中，增长速度最慢的是()

A．y＝6x B．y＝log6x

C．y＝x6 D．y＝6x

[答案] B

2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()

A．y＝50(xZ) B．y＝1 000x

C．y＝0.42x－1 D．y＝1100 000ex

[答案] D

[解析] 指数函数增长速度最快，且e2，因而ex增长最快．

3．(2013～2014长沙高一检测)如图，能使不等式log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围是()

A．x＞0 B．x＞2

C．x＜2 D．0＜x＜2

[答案] D

4．以下四种说法中，正确的是()

A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快

B．对任意的x＞0，xn＞logax

C．对任意的x＞0，ax＞logax

D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax

[答案] D

[解析] 对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立．当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立．

5．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：

x 1 3 5 7 9 11

y1 5 135 625 1715 3645 6655

y2 5 29 245 2189 19685 177149

y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4

则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为()

A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3

C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2

[答案] C

[解析] 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C.

6．四个人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(i{1,2,3,4})和时间x(x＞1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()

A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x

C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x

[答案] D

[解析] 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.

二、填空题

7．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．

[答案] 甲

8．某食品加工厂生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为________．

[答案] (1＋p)12－1

9．在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(分)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示：现给出下列说法________

①前5分钟温度增加越来越快；

②前5分钟温度增加越来越慢；

③5分钟后温度保持匀速增加；

④5分钟后温度保持不变．

[答案] ②③

[解析] 前5分钟，温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；

5分钟后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加．故说法②③正确．

　三、解答题

10．(2013～2014沈阳高一检测)某种新栽树木5年成材，在此期间年生长率为20%，以后每年生长率为x%(x＜20)．树木成材后，既可以砍伐重新再栽，也可以继续让其生长，哪种方案更好？

[解析] 只需考虑10年的情形．设新树苗的木材量为Q，则连续生长10年后木材量为：Q(1＋20%)5(1＋x%)5,5年后再重栽的`木才量为2Q(1＋20%)5，画出函数y＝(1＋x%)5与y＝2的图象，用二分法可求得方程(1＋x%)5＝2的近似根x＝14.87，故当x＜14.87时就考虑重栽，否则让它继续生长．

11．有甲、乙两个水桶，开始时水桶甲中有a升水，水桶乙中无水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y＝ae－nt，假设过5分钟时水桶甲和水桶乙的水相等，求再过多长时间水桶甲中的水只有a8.

[解析] 由题意得，ae－5n＝a－ae－5n，即e－5n＝12，设再过t分钟水桶甲中的水只有a8，得ae－n(t＋5)＝a8，

所以(12)t＋55＝(e－5n)t＋55＝e－n(t＋5)＝18＝(12)3，

t＋55＝3，

t＝10.

再过10分钟水桶甲中的水只有a8.

12．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54,58.为了预测以后各月的患 病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝pqx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？

[解析] 依题意：

得a12＋b1＋c＝52，a22＋b2＋c＝54，a32＋b3＋c＝58，

即a＋b＋c＝52，4a＋2b＋c＝54，9a＋3b＋c＝58，解得a＝1，b＝－1，c＝52.

甲：y1＝x2－x＋52，

又pq1＋r＝52 ①pq2＋r＝54 ②pq3＋r＝58 ③

①－②，得pq2－pq1＝2 ④

②－③，得pq3－pq2＝4 ⑤

⑤④，得q＝2，

将q＝2代入④式，得p＝1，

将q＝2，p＝1代入①式，得r＝50，

乙：y2＝2x＋50，

计算当x＝4时，y1＝64，y2＝66；

当x＝5时，y1＝72，y2＝82；

当x＝6时，y1＝82，y2＝114.

可见，乙选择的模型较好．