全国高中数学联赛模拟试题5及答案

全国高中数学联赛模拟试题（五）

第一试

一、 选择题：（每小题6分，共36分）

1、空间中n（n≥3）个平面，其中任意三个平面无公垂面．那么，下面四个

结论

（1） 没有任何两个平面互相平行；

（2） 没有任何三个平面相交于一条直线； （3） 平面间的任意两条交线都不平行；

（4） 平面间的每一条交线均与n 2个平面相交． 其中，正确的个数为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4

2、若函数y=f(x)在[a,b]上的一段图像可以近似地看作直线段，则当c∈(a,b)

时，f(c)的近似值可表示为

（A）

f a f b

2

a b

（B）f

2

（C）

b c f a c a f b

b a（D）f a

c a

f b f a b a

3、设a＞b＞c，a+b+c=1，且a2+b2+c2=1，则

（A）a+b＞1 （B）a+b=1 （C）a+b＜1 （D）不能确定，与a、b的具体取值有关

x2y2 3

4、设椭圆2 2 1的离心率e ，已知点P 0, 到椭圆上的点的最远

2ab 2 7

，则短半轴之长b= 4

1111

（A） （B） （C） （D）

48216

5、S={1,2,…,2003}，A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等

差数列．那么，这样的三元子集A的个数是

距离是

（A）C32003

22

（B）C1001 C1002

22

（C）A1001 A1002（D）A32003

6、长方体ABCD A1B1C1D1，AC1为体对角线．现以A为球心，AB、AD、AA1、AC1为半径作四个同心球，其体积依次为V1、V2、V3、V4，则有 （A）V4＜V1+V2+V3 （B）V4=V1+V2+V3 （C）V4＞V1+V2+V3 （D）不能确定，与长方体的棱长有关

二、 填空题：（每小题9分，共54分）

sin3 cos3

1、已知 k，则k的取值范围为 ．

sin cos 2、等差数列{an}的首项a1=8，且存在惟一的k使得点(k,ak)在圆x2+y2=102上，则这样的等差数列共有 个．

a

3、在四面体P ABC中，PA=PB=a，PC=AB=BC=CA=b，且a＜b，则的取

b

值范围为 ．

4、动点A对应的复数为z=4(cos +isin )，定点B对应的复数为2，点C为线段AB的中点，过点C作AB的垂线交OA与D，则D所在的轨迹方程为 ． 5、 3k被8所除得的余数为 ．

k 12003

6、圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为．

三、 （20分）

已知抛物线y2=2px(p＞0)的一条长为l的弦AB．求AB中点M到y

轴的最短距离，并求出此时点M的坐标．

四、 （20分）

单位正方体ABCD A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心为点M，正方形A1B1C1D1的中心为点N，连AN、B1M． （1）求证：AN、B1M为异面直线； （2）求出AN与B1M的夹角．

五、 （20分）

对正实数a、b、c．求证：

a2 8bcb2 8acc2 8ab

≥9．

abc

第二试

一、 （50分）

设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△PAB的内切圆与边AB的切点．乘积PA·PB的值随着长方形ABCD及点P的变化而变化，当PA·PB取最小值时， （1）证明：AB≥2BC； （2）求AQ·BQ的值．

二、 （50分）

给定由正整数组成的数列

a1 1,a2 2

（n≥1）．

an 2 an 1 an

（1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点

(a1,a2)，(a3,a4)，…，(a2k-1,a2k)，…

均在曲线x2+xy y2+1=0上．

（2）若设f(x)=xn+xn-1 anx an-1，g(x)=x2 x 1，证明：g(x)整除f(x)．

三、 （50分）

我们称A1,A2,…,An为集合A的一个n分划，如果 （1）A1 A2 An A； （2）Ai Aj ，1≤i＜j≤n．

求最小正整数m，使得对A＝{1,2,…,m}的任意一个13分划A1,A2,…,A13，一定存在某个集合Ai(1≤i≤13)，在Ai中有两个元素a、b

9

满足b＜a≤b．

8

参考答案

第一试

二、填空题：

1 1

1、 1, ,1 ；

2 2

2、17；

2

x 1 4、

3、 2 3,1 ；

5、4；

4

y2

1； 3

6、117600．

l2 l2

,0 ,0 l 2p,M 8p8p

三、 ．

l ppl l p,l 2p,M 2

2,2 p 2

四、（1）证略；

五、证略．

（2）arccos

2． 3

第二试

一、（1）证略（提示：用面积法，得PA·PB最小值为2，此时∠APB＝90°）； （2）AQ·BQ=1．

二、证略（提示：用数学归纳法）．

三、m=117．