函数模型及其应用习题及答案

某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，于是商场经理决定每件衬衫降价15元，经理的决定正确吗？

基础巩固

1．某商场售出两台取暖器，第一台提价20%以后按960卖出，第二台降价20%以后按960元卖出，这两台取暖器卖出后，该商场()

A．不赚不亏 B．赚了80元

C．亏了80元 D．赚了160元

解析：960＋960－9601＋20%－9601－20%＝－80.

答案：C

2．用一根长12 m的铁丝折成一个矩形的铁框架，则能折成的框架的最大面积是__________．

解析：设矩形长为x m，则宽为12(12－2x) m，用面积公式可得S的最大值．

答案：9 m2

3．在x g a%的盐水中，加入y g b%的盐水，浓度变为c%，则x与y的函数关系式为__________．

解析：溶液的浓度＝溶质的质量溶液的质量＝xa%＋yb%x＋y＝

c%，解得y＝a－cc－bx＝c－ab－cx.

答案：y＝c－ab－cx

4．某服装个体户在进一批服装时，进价已按原价打了七五折，他打算对该服装定一新标价在价目卡上，并说明按该价的20%销售．这样仍可获得25%的.纯利，求此个体户给这批服装定的新标价y与原标价x之间的函数关系式为________

解析：由题意得20%y－0.75x＝0.7x25%y＝7516x.

答案：y＝7516x

5．如果本金为a，每期利率为r，按复利计算，本利和为y，则存x期后，y与x之间的函数关系是________．

解析：1期后y＝a＋ar＝a(1＋r)；

2期后y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2；…归纳可得x期后y＝a(1＋r)x.

答案：y＝a(1＋r)x

6．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，n年后这批设备的价值为________万元．

解析：1年后价值为：a－ab%＝a(1－b%)，2年后价值为：a(1－b%)－a(1－b%)b%＝a(1－b%)2，

n年后价值为：a(1－b%)n.

答案：a(1－b%)n

7．某供电公司为了合理分配电力，采用分段计算电费政策，月用电量x(度)与相应电费y(元)之间的函数关系的图象如下图所示．

(1)填空：月用电量为100度时，应交电费______元；

(2)当x100时，y与x之间的函数关系式为__________；

(3)月用电量为260度时，应交电费__________元．

解析：由图可知：y与x之间是一次函数关系，用待定系数法可求解析式．

答案：(1)60 (2)y＝12x＋10 (3)140

8．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：

每户每月用水量水价

不超过12 m3的部分 3元/m3

超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3

超过18 m3的部分 9元/m3

若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量为__________m3.

解析：设每户每月用水量为x，水价为y元，则

y＝3x，012，36＋x－126，1218，36＋36＋x－189，x＞18，

即y＝3x，012，6x－36，1218，9x－90，x18.

48＝6x－36，x＝14.

答案：14

9．国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元(叫做税率为8个百分点，即8%)，计划收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点．

(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；

(2)要使此项税收在税率调整后，不低于原计划的78%，试确定x的范围．

解析：(1)y＝120m[1＋(2x)%](8%－x%)＝

－0.024m(x2＋42x－400)(08)．

(2)－0.024m(x2＋42x－400)120m8%78%，

即x2＋42x－880，(x＋44)(x－2)0，

解得－442.

又∵08，02.

10．

有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9 m，AB＝10 m，BC＝2.4 m．现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4 m，宽为2 m的装有集装箱的汽车要通过隧道．问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁至少多少米才不至于碰到隧道顶部(抛物线部分为隧道顶部，AO、BC为壁)?

解析：由已知条件分析，得知抛物线顶点坐标为(5,2.5)，C点的坐标为(10,0)，所以设抛物线的解析式为

y＝a(x－5)2＋2.5，①

把(10,0)代入①得0＝a(10－5)2＋2.5，

解得a＝－110，y＝－110(x－5)2＋2.5.

当y＝4－2.4＝1.6时，1.6＝－110(x－5)2＋2.5，

即(x－5)2＝9，解得x1＝8，x2＝2.

显然，x2＝2不符合题意，舍去，所以x＝8.

OC－x＝10－8＝2.

故汽车应离开右壁至少2 m才不至于碰到隧道顶部．