参考高中数学测试题

1、．按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：

（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；

（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。

（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝时，这种变换满足上述两个要求；

（2）若按关系式y=a(x－h)2＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）

解：（1）当P=时，y=x＋,即y=。

∴y随着x的增大而增大，即P=时，满足条件（Ⅱ）……3分

又当x=20时，y==100。而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=时，这种变换满足要求；……6分

（2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a）h≤20；（b）若x=20,100时，y的对应值m，n能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。

如取h=20,y=,……8分

∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大…10分

令x=20,y=60，得k=60

①

令x=100,y=100，得a×802＋k=100 ②

由①②解得，

∴。………14分

2、（2007年常德市第26题）．如图11，已知四边形是菱形，是线段上的任意一点时，连接交于，过作交于，可以证明结论成立（考生不必证明）．

（1）探究：如图12，上述条件中，若在的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（5分）

（2）计算：若菱形中，在直线上，且，连接交所在的直线于，过作交所在的直线于，求与的长．（7分）

（3）发现：通过上述过程，你发现在直线上时，结论还成立吗？（1分）

解：（1）结论成立··········· 1分

证明：由已知易得

∴··················· 3分

∵FH//GC

∴············ 5分

（2）∵G在直线CD上

∴分两种情况讨论如下：

①

G在CD的延长线上时，DG=10

如图3，过B作BQ⊥CD于Q，

由于ABCD是菱形，∠ADC=60，

∴BC=AB=6，∠BCQ=60，

∴BQ=，CQ=3

∴BG=········ 7分

又由FH//GC，可得

而三角形CFH是等边三角形

∴BH=BC-HC=BC-FH=6-FH

∴，∴FH=

由（1）知

∴FG=·········· 9分

②

G在DC的延长线上时，CG=16

如图4，过B作BQ⊥CG于Q，

由于ABCD是菱形，∠ADC=600，

∴BC=AB=6，∠BCQ=600，

∴BQ=，CQ=3

∴BG==14………………………………11分

又由FH//CG，可得

∴，而BH=HC-BC=FH-BC=FH-6

∴FH=

又由FH//CG，可得

∴BF=

∴FG=14+············· 12分

（3）G在DC的延长线上时，

所以成立

结合上述过程，发现G在直线CD上时，结论还成立． 13分

3、（郴州市2007年第27题）．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重合时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积，表示矩形NFQC的面积．

（1） S与相等吗？请说明理由．

（2）设AE＝x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？

（3）如图11，连结BE，当AE为何值时，是等腰三角形．

解：（1）相等

理由是：因为四边形ABCD、EFGH是矩形，

所以

所以 即：

（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，设AE＝x，则EC＝5－x，

所以，即

配方得：，所以当时，

S有最大值3

（3）当AE＝AB＝3或AE＝BE＝或AE＝3.6时，是等腰三角形（每种情况得1分）

4、（德州市2007年第23题）．（本题满分10分）

已知：如图14，在中，为边上一点，，，．

（1）试说明：和都是等腰三角形；

（2）若，求的值；

（3）请你构造一个等腰梯形，使得该梯形连同它的两条对角线得到8个等腰三角形．（标明各角的度数）

解：（1）在中，，

．··················· 1分

在与中，；

，

．

··················· 2分

．

和都是等腰三角形．4分

（2）设，则，即．·············· 6分

解得（负根舍去）．················· 8分

5、（2007年龙岩市第25题）．（14分）如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出三点的`坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线的对称轴·············· 2分

（2） ················ 5分

把点坐标代入中，解得·········· 6分

················· 7分

（3）存在符合条件的点共有3个．以下分三类情形探索．

设抛物线对称轴与轴交于，与交于．

过点作轴于，易得，，，

①

以为腰且顶角为角的有1个：．

················ 8分

在中，

··················· 9分

②以为腰且顶角为角的有1个：．

在中， 10分

············ 11分

③以为底，顶角为角的有1个，即．

画的垂直平分线交抛物线对称轴于，此时平分线必过等腰的顶点．

过点作垂直轴，垂足为，显然．