有关一元二次方程根教学设计

作为一名教师，通常需要准备好一份教学设计，教学设计是连接基础理论与实践的桥梁，对于教学理论与实践的紧密结合具有沟通作用。那么大家知道规范的教学设计是怎么写的吗？下面是小编精心整理的有关一元二次方程根教学设计，希望能够帮助到大家。

一元二次方程根教学设计1

教学目标

掌握b2—4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2—4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2—4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用。

通过复习用配方法解一元二次方程的b2—4ac>0、b2—4ac=0、b2—4ac<0各一题，分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目。

重难点关键

1。重点：b2—4ac>0 一元二次方程有两个不相等的实根；b2—4ac=0 一元二次方程有两个相等的实数；b2—4ac<0 一元二次方程没有实根。

2。难点与关键

从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2—4ac的情况与根的情况的关系。

教具、学具准备

小黑板

教学过程

一、复习引入

（学生活动）用公式法解下列方程。

（1）2x2—3x=0 （2）3x2—2 x+1=0 （3）4x2+x+1=0

老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b2—4ac=9>0，有两个不相等的实根；（2）b2—4ac=12—12=0，有两个相等的实根；（3）b2—4ac=│—4×4×1│=<0，方程没有实根。

二、探索新知

方程b2—4ac的值b2—4ac的符号x1、x2的关系

（填相等、不等或不存在）

2x2—3x=0

3x2—2 x+1=0

4x2+x+1=0

请观察上表，结合b2—4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想。

从前面的具体问题，我们已经知道b2—4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：

求根公式：x= ，当b2—4ac>0时，根据平方根的意义， 等于一个具体数，所以一元一次方程的x1= ≠x1= ，即有两个不相等的实根。当b2—4ac=0时，根据平方根的意义 =0，所以x1=x2= ，即有两个相等的实根；当b2—4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解。

因此，（结论）

（1）当b2—4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1= ，x2= 。

（2）当b—4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2= 。

（3）当b2—4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根。

例1。不解方程，判定方程根的情况

（1）16x2+8x=—3

（2）9x2+6x+1=0

（3）2x2—9x+8=0

（4）x2—7x—18=0

分析：不解方程，判定根的情况，只需用b2—4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可。

解：（1）化为16x2+8x+3=0

这里a=16，b=8，c=3，b2—4ac=64—4×16×3=—128<0

所以，方程没有实数根。

三、巩固练习

不解方程判定下列方程根的情况：

（1）x2+10x+26=0 （2）x2—x— =0 （3）3x2+6x—5=0 （4）4x2—x+ =0

（5）x2— x— =0 （6）4x2—6x=0 （7）x（2x—4）=5—8x

四、应用拓展

例2。若关于x的一元二次方程（a—2）x2—2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）。

分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>—3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0。因为一元二次方程（a—2）x2—2ax+a+1=0没有实数根，即（—2a）2—4（a—2）（a+1）<0就可求出a的取值范围。

解：∵关于x的一元二次方程（a—2）x2—2ax+a+1=0没有实数根。

∴（—2a）2—4（a—2）（a+1）=4a2—4a2+4a+8<0

a<—2

∵ax+3>0即ax&

gt；—3

∴x<—

∴所求不等式的解集为x<—

五、归纳小结

本节课应掌握：

b2—4ac>0 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b2—4ac=0 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2—4ac<0 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的运用。

六、布置作业

1。教材P46 复习巩固6 综合运用9 拓广探索1、2。

2。选用课时作业设计。

第7课时作业设计

一、选择题

1。以下是方程3x2—2x=—1的解的情况，其中正确的有（ ）。

A。∵b2—4ac=—8，∴方程有解

B。∵b2—4ac=—8，∴方程无解

C。∵b2—4ac=8，∴方程有解

D。∵b2—4ac=8，∴方程无解

2。一元二次方程x2—ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（ ）。

A。a=0 B。a=2或a=—2

C。a=2 D。a=2或a=0

3。已知k≠1，一元二次方程（k—1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（ ）。

A。k≠2 B。k>2 C。k<2且k≠1 D。k为一切实数

二、填空题

1。已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________。

2。不解方程，判定2x2—3=4x的根的情况是______（填"二个不等实根"或"二个相等实根或没有实根"）。

3。已知b≠0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2—（2a+b）x+（a+ab—2b2）=0的根的情况是________。

三、综合提高题

1。不解方程，试判定下列方程根的情况。

（1）2+5x=3x2 （2）x2—（1+2 ）x+ +4=0

2。当c<0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况。

3。不解方程，判别关于x的方程x2—2kx+（2k—1）=0的根的情况。

4。某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元，2002年销售总额为7。2亿元，求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率。

一元二次方程根教学设计2

一、复习引入

1、已知方程 x2—ax—3a=0的一个根是6，则求a及另一个根的值。

2、有上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系。其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有根简洁的关系？

3、有求根公式可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1= ，x2= 、观察两式左边，分母相同，分子是—b+√b 2—4ac与—b—√b 2—4ac。两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？

二、探索新知

解下列方程，并填写表格：

方 程x1x2x1+x2x1、 x2

x2—2x=0

x2+3x—4=0

x2—5x+6=0

观察上面的表格，你能得到什么结论？

（1）关于x的方程 x2+px+q=0（p，q为常数，p2—4q≥0）的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系？

（2）关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的.两根x1， x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？

解下列方程，并填写表格：

方 程x1x2x1+x2x1、 x2

2x2—7x—4=0

3x2+2x—5=0

5x2—17x+6=0

小结：1、根与系数关系：

（1）关于x的方程x2+px+q=0（p，q为常数，p2—4q≥0）的两根x1，x2与系数p，q的关系是：x1+x2=—p， x1、 x2=q（注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零。）

（2）形如的方程ax2+bx+c=0（a≠0），可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论。

即： 对于方程 ax2+bx+c=0（a≠0）

（可以利用求根公式给出证明）

例1：不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：

例2：不解方程，检验下列方程的解是否正确？

例3：已知一元二次方程的两个根是—1和2，请你写出一个符合条件的方程、（你有几种方法？）

例4：已知方程 的一个根是 ，求另一根及k的值、

变式一：已知方程 的两根互为相反数，求k；

变式二：已知方程 的两根互为倒数，求k；

三、巩固练习

1、已知方程 的一个根是1，求另一根及m的值、

2、已知方程 的一个根为 ，求另一根及c的值、

四、应用拓展

1、已知关于x的方程 的一个根是另一个根的2倍，求m的值、

2、已知两数和为8，积为9，求这两个数、

3、 x2—2x+6=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，x1x2=6、是否正确？

五、归纳小结

1、根与系数的关系：

2、根与系数关系使用的前提是：

（1）是一元二次方程；

（2）判别式大于等于零、

六、布置作业

1、不解方程，写出下列方程的两根和与两根积。

（1）x2—5x—3=0

（2）9x+2= x2

（3） 6 x2—3x+2=0 （4）3x2+x+1=0

2、 已知方程x2—3x+m=0的一个根为1，求另一根及m的值、

3、 已知方程x2+bx+6=0的一个根为—2求另一根及b的值、